EEN trapeze scalene is een veelhoek met vier zijden, waarvan er twee evenwijdig aan elkaar zijn, en met zijn vier binnenhoeken van verschillende afmetingen.
De vierhoek ABCD wordt hieronder getoond, waarbij zijden AB en DC evenwijdig aan elkaar zijn. Dit is voldoende om er een trapezium van te maken, maar bovendien zijn de binnenhoeken α, β, γ en δ allemaal verschillend, daarom is het trapezium ongelijk.
Artikel index
Hier zijn de meest karakteristieke elementen:
-Bodems en zijkanten: de parallelle zijden van de trapezium zijn de bases en de twee niet-parallelle zijden zijn de lateralen.
Bij een scalene trapezium hebben de bases verschillende lengtes en ook de laterale. Een scalene trapezium kan echter een laterale lengte hebben die even lang is als een basis..
-Mediaan: is het segment dat de middelpunten van de zijtakken verbindt.
-Diagonalen: de diagonaal van een trapezium is het segment dat twee tegenoverliggende hoekpunten verbindt. Een trapezium heeft, zoals elke vierhoek, twee diagonalen. In de scalene trapezium zijn ze van verschillende lengte.
Naast de scalene trapezoïde zijn er nog andere specifieke trapezoïden: de rechter trapezoïde en de gelijkbenige trapezoïde..
Een trapezium is een rechthoek wanneer een van zijn hoeken goed is, terwijl een gelijkbenige trapezium zijn zijden van gelijke lengte heeft.
De trapeziumvorm kent tal van toepassingen op ontwerp- en industrieniveau, zoals bij de configuratie van vliegtuigvleugels, de vorm van alledaagse voorwerpen zoals tafels, rugleuningen, verpakkingen, portemonnees, textielprints en meer..
Hieronder staan de eigenschappen van de scalene trapezium vermeld, waarvan er vele zich uitstrekken tot de andere soorten trapeziums. In wat volgt, als we het hebben over "trapezium", zal de eigenschap van toepassing zijn op elk type, inclusief schaal..
1. De mediaan van de trapezium, dat wil zeggen het segment dat de middelpunten van de niet-parallelle zijden met elkaar verbindt, is evenwijdig aan een van de bases.
2.- De mediaan van een trapezium heeft een lengte die de halve som is van de bases en snijdt de diagonalen in het midden.
3.- De diagonalen van een trapezium snijden elkaar op een punt dat ze in twee delen verdeelt die evenredig zijn met de quotiënten van de bases.
4.- De som van de vierkanten van de diagonalen van een trapezium is gelijk aan de som van de vierkanten van de zijkanten plus het dubbele product van de bases..
5.- Het segment dat de middelpunten van de diagonalen verbindt, heeft een lengte die gelijk is aan het halve verschil van de bases.
6.- De hoeken naast de laterale zijn aanvullend.
7.- In een scalene trapezium is de lengte van de diagonalen verschillend.
8.- Een trapezium heeft alleen een ingeschreven omtrek als de som van de bases gelijk is aan de som van de zijden.
9.- Als een trapezium een ingeschreven omtrek heeft, dan is de hoek met de top in het midden van die omtrek en de zijden die door de uiteinden van de zijkant van de trapezium gaan recht.
10.- Een scalene trapezium heeft geen omgeschreven omtrek, het enige type trapezium dat er wel een heeft, is de gelijkbenige.
De volgende relaties van de scalene trapezium worden verwezen naar de volgende afbeelding.
1.- Als AE = ED en BF = FC → EF || AB en EF || DC.
2. - EF = (AB + DC) / 2 dat wil zeggen: m = (a + c) / 2.
3. - DI = IB = d1 / 2 en AG = GC = dtwee /twee.
4.- DJ / JB = (c / a) op dezelfde manier CJ / JA = (c / a).
5. - DBtwee + ACtwee = ADtwee + BCtwee + 2 AB ∙ DC
Equivalent:
d1twee + dtweetwee = dtwee + btwee + 2 a ∙ c
6. - GI = (AB - DC) / 2
Namelijk:
n = (a - c) / 2
7. - α + δ = 180⁰ en β + γ = 180⁰
8.- Als α ≠ β ≠ γ ≠ δ dan d1 ≠ d2.
9. - Figuur 4 toont een trapezium van een schaal met een ingeschreven omtrek, in dit geval is het waar dat:
een + c = d + b
10.- In een scalene trapezoïde ABCD met een ingeschreven omtrek van middelpunt O, is het volgende ook waar:
∡AOD = ∡BOC = 90⁰
De hoogte van een trapezium wordt gedefinieerd als het segment dat van een punt van de basis loodrecht naar de tegenoverliggende basis gaat (of naar de verlenging ervan).
Alle hoogtes van de trapezium hebben dezelfde afmeting h, dus meestal verwijst het woord hoogte naar de afmeting. Bij synthese is de hoogte de afstand of scheiding tussen de bases.
De hoogte h kan worden bepaald door de lengte van één zijde en een van de hoeken naast de zijkant te kennen:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
De maat m van de mediaan van de trapezium is de halve som van de basen:
m = (a + b) / 2
d1 = √ [eentwee + dtwee - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
dtwee= √ [eentwee + btwee - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Het kan ook worden berekend als alleen de lengte van de zijkanten van de trapezium bekend is:
d1 = √ [btwee + a ∙ c - a (btwee - dtwee) / (a - c)]
dtwee = √ [dtwee + a ∙ c - a (dtwee - btwee) / (a - c)]
De omtrek is de totale lengte van de contour, dat wil zeggen de som van al zijn zijden:
P = een + b + c + d
De oppervlakte van een trapezium is de halve som van de bases vermenigvuldigd met de hoogte:
A = h ∙ (a + b) / 2
Het kan ook worden berekend als de mediaan m en hoogte h bekend zijn:
A = m ∙ h
Als alleen de lengte van de zijkanten van de trapezoïde bekend is, kan het gebied worden bepaald met behulp van de formule van Heron voor de trapezoïde:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Waar s de semiperimeter is: s = (a + b + c + d) / 2.
Het snijpunt van de mediaan met de diagonalen en de parallel die door het snijpunt van de diagonalen gaat, geeft aanleiding tot andere relaties.
EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2
Als KL || AB || DC met J ∈ KL, dan KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Gezien de basis van lengtes naar Y c, waarbij a> c en met zijden van lengtes b en d, wezen b> d, ga verder door deze stappen te volgen (zie figuur 6):
1.- Met de regel wordt het segment van de grote AB getekend.
2.- Vanaf A se en op AB wordt het punt P gemarkeerd zodat AP = c.
3.- Met het kompas met middelpunt op P en straal d wordt een boog getekend.
4. - Centreer op B met straal b en teken een boog die de boog onderschept die in de vorige stap is getekend. We noemen Q het snijpunt.
5. - Teken met het middelpunt op A een boog met straal d.
6.- Teken met het middelpunt op Q een boog met straal c die de boog onderschept die in de vorige stap is getekend. Het afkappunt wordt R genoemd.
7.- Segmenten BQ, QR en RA worden getraceerd met de liniaal.
8.- De vierhoek ABQR is een trapezium op schaal, aangezien APQR een parallellogram is dat garandeert dat AB || Qr.
De volgende lengtes zijn aangegeven in cm: 7, 3, 4 en 6.
a) Bepaal of het met hen mogelijk is om een scalene trapezium te construeren die een cirkel kan omschrijven.
b) Vind de omtrek, het gebied, de lengte van de diagonalen en de hoogte van de genoemde trapezium, evenals de straal van de ingeschreven cirkel.
Door de segmenten met lengte 7 en 3 als basis te gebruiken en die met lengte 4 en 6 als lateralen, kan een trapeziumvormige schaal worden geconstrueerd volgens de procedure die in het vorige gedeelte is beschreven..
Het blijft om te controleren of het een ingeschreven omtrek heeft, maar onthoud de eigenschap (9):
Een trapezium heeft alleen een ingeschreven omtrek als de som van de bases gelijk is aan de som van de zijden.
We zien dat effectief:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Dan is aan de bestaansvoorwaarde van ingeschreven omtrek voldaan.
De omtrek P wordt verkregen door de zijkanten toe te voegen. Omdat de bases samen 10 zijn en de lateralen ook, is de omtrek:
P = 20 cm
Om het gebied te bepalen, dat alleen de zijkanten kent, wordt de relatie toegepast:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Waar s is de semiperimeter:
s = (een + b + c + d) / 2.
In ons geval is de semiperimeter s = 10 cm waard. Na het vervangen van de respectieve waarden:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Stoffelijk overschot:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
De hoogte h is gerelateerd aan het gebied A door de volgende uitdrukking:
A = (a + c) ∙ h / 2, van waaruit de hoogte kan worden verkregen door te wissen:
h = 2A / (a + c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.
De straal van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de helft van de hoogte:
r = h / 2 = 1.984 cm
Ten slotte wordt de lengte van de diagonalen gevonden:
d1 = √ [btwee + a ∙ c - a (btwee - dtwee) / (a - c)]
dtwee = √ [dtwee + a ∙ c - a (dtwee - btwee) / (a - c)]
Als we de waarden correct vervangen, hebben we:
d1 = √ [6twee + 7 ∙ 3-7 (6twee - 4twee) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
dtwee = √ [4twee + 7 ∙ 3-7 (4twee - 6twee) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
Dat wil zeggen: d1 = 4,69 cm en dtwee = 8,49 cm
Bepaal de binnenhoeken van het trapezium met bases AB = a = 7, CD = c = 3 en laterale hoeken BC = b = 6, DA = d = 4.
De cosinusstelling kan worden toegepast om de hoeken te bepalen. Zo wordt de hoek ∠A = α bepaald uit de driehoek ABD met AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 en DA = d = 4.
De cosinusstelling die op deze driehoek wordt toegepast, ziet er als volgt uit:
dtweetwee = eentwee + dtwee - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), dat wil zeggen:
72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).
Oplossend voor, wordt de cosinus van hoek α verkregen:
Cos (α) = -1/8
Dat wil zeggen, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
Op dezelfde manier worden de andere hoeken verkregen, hun waarden zijn:
β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ en tenslotte δ = 82,82⁰.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.