Traject in fysische kenmerken, typen, voorbeelden en oefeningen

De traject in de natuurkunde Het is de curve die een mobiel beschrijft terwijl het tijdens zijn beweging door opeenvolgende punten gaat. Omdat het een oneindig aantal varianten kan aannemen, zullen de trajecten die de gsm kan volgen ook.

Om van de ene plaats naar de andere te komen, kan een persoon verschillende paden en verschillende manieren nemen: te voet door de trottoirs in straten en lanen, of met de auto of motor aankomen op een snelweg. Tijdens een wandeling door het bos kan de wandelaar een gecompliceerd pad volgen dat bochten omvat, in niveau omhoog of omlaag gaat en zelfs meerdere keren door hetzelfde punt gaat.

Als de punten waar de mobiel doorheen reist een rechte lijn volgen, zal het traject rechtlijnig zijn. Dit is het eenvoudigste pad, omdat het eendimensionaal is. Voor het specificeren van de positie is een enkele coördinaat vereist.

Maar de mobiel kan een kromlijnig pad volgen, zowel gesloten als open. In deze gevallen heeft het volgen van de positie twee of drie coördinaten nodig. Dit zijn bewegingen in respectievelijk het vlak en in de ruimte. Dit heeft ermee te maken links: materiële omstandigheden die beweging beperken. Enkele voorbeelden zijn:

- De banen die de planeten rond de zon beschrijven, zijn gesloten ellipsvormige banen. Hoewel ze in sommige gevallen kunnen worden benaderd als een cirkel, zoals in het geval van de aarde.

- De bal die de doelman in een doeltrap trapt, volgt een parabolisch traject.

- Een vogel tijdens de vlucht beschrijft kromlijnige banen in de ruimte, omdat hij niet alleen in een vliegtuig kan bewegen, maar ook naar believen in niveau kan stijgen of dalen..

Het traject in de natuurkunde kan wiskundig worden uitgedrukt wanneer de positie van de mobiel op elk moment bekend is. Worden r de positievector, die op zijn beurt coördinaten heeft X, Y Y z in het meest algemene geval van een beweging in drie dimensies. De functie kennen r (t) het traject wordt volledig bepaald.

Artikel index

• 1 soorten
  • 1.1 Bewegingen in één, twee en drie dimensies
• 2 voorbeelden
  • 2.1 Pad van een mobiel op een expliciete, impliciete en parametrische manier
• 3 Opgeloste oefeningen
  • 3.1 Opgeloste oefening 1
  • 3.2 Oefening opgelost 2
  • 3.3 Oefening opgelost 3
• 4 referenties

Types

In algemene termen kan het traject een nogal gecompliceerde curve zijn, vooral als je het wiskundig wilt uitdrukken. Om deze reden begint het met de eenvoudigste modellen, waarbij de mobiele telefoons in een rechte lijn of in een vliegtuig reizen, wat de vloer kan zijn of een andere geschikte:

Bewegingen in één, twee en drie dimensies

De meest bestudeerde trajecten zijn:

- Rechtlijnig, bij het reizen op een rechte horizontale, verticale of hellende lijn. Een bal die verticaal naar boven wordt gegooid, volgt dit pad, of een object dat van een helling naar beneden glijdt, volgt. Het zijn eendimensionale bewegingen, waarbij een enkele coördinaat voldoende is om hun positie volledig te bepalen..

- Parabolisch, waarin de mobiel een boog van een parabool beschrijft. Het komt vaak voor, omdat elk object dat schuin wordt geworpen onder invloed van de zwaartekracht (een projectiel) dit traject volgt. Om de positie van de gsm te specificeren, moet je twee coördinaten opgeven: X Y Y.

- Circulaire, treedt op wanneer het bewegende deeltje een cirkel volgt. Ook in de natuur en in de dagelijkse praktijk komt het veel voor. Veel alledaagse voorwerpen volgen een cirkelvormig pad, zoals banden, machineonderdelen en satellieten in een baan om er maar een paar te noemen..

- Elliptisch, het object beweegt volgens een ellips. Zoals in het begin gezegd, is dit het pad dat wordt gevolgd door de planeten in een baan om de zon.

- Hyperbolisch, Astronomische objecten onder invloed van een centrale kracht (zwaartekracht), kunnen elliptische (gesloten) of hyperbolische (open) banen volgen, deze zijn minder frequent dan de eerste.

- Spiraalvormig, of spiraalvormige beweging, zoals die van een vogel die opstijgt in een thermische stroom.

- Zwaai of slinger, de mobiel beschrijft een boog in heen en weer gaande bewegingen.

Voorbeelden

De trajecten die in het vorige gedeelte zijn beschreven, zijn erg handig om snel een idee te krijgen van hoe een object beweegt. In elk geval moet worden verduidelijkt dat het traject van een mobiel afhangt van de locatie van de waarnemer. Dit betekent dat dezelfde gebeurtenis op verschillende manieren kan worden gezien, afhankelijk van waar elke persoon zich bevindt..

Een meisje trapt bijvoorbeeld met een constante snelheid en gooit een bal naar boven. Ze merkt op dat de bal een rechtlijnig pad beschrijft. 

Voor een waarnemer die op de weg staat en hem ziet passeren, zal de bal echter een parabolische beweging hebben. Voor hem werd de bal aanvankelijk met een schuine snelheid gegooid, als gevolg van de snelheid waarmee de hand van het meisje omhoog ging plus de snelheid van de fiets..

Pad van een mobiel op een expliciete, impliciete en parametrische manier

- Expliciet, direct specificeren van de curve of meetkundige plaats gegeven door de vergelijking y (x)

- Impliciet, waarin een curve wordt uitgedrukt als f (x, y, z) = 0

-Parametrisch, in deze vorm worden de x-, y- en z-coördinaten gegeven als functie van een parameter die doorgaans als tijd wordt gekozen t. In dit geval bestaat het traject uit de functies: x (t), en (t) Y z (t).

Vervolgens worden twee trajecten beschreven die uitgebreid zijn bestudeerd in de kinematica: het parabolische traject en het cirkelvormige traject..

Gekantelde lancering in vacuüm

Een voorwerp (het projectiel) wordt onder een hoek a met de horizontaal en met beginsnelheid geworpen v_of zoals de foto laat zien. Er wordt geen rekening gehouden met luchtweerstand. De beweging kan worden behandeld als twee onafhankelijke en gelijktijdige bewegingen: de ene horizontaal met constante snelheid en de andere verticaal onder invloed van de zwaartekracht..

x (t) = x_of +v_os.t

y (t) = y_of +v_Hallo.t -½g.t^twee

Deze vergelijkingen zijn parametrische vergelijkingen projectiel lancering. Zoals hierboven uitgelegd, hebben ze de parameter t, wat is tijd.

Het volgende is te zien in de rechthoekige driehoek in de afbeelding:

v_os = v_of cos θ_ik

v_Hallo = v_of sen θ_ik

Het substitueren van deze vergelijkingen die de lanceerhoek bevatten in de parametrische vergelijkingen resulteert:

x (t) = x_of +v_of cos θ_ik.t

y (t) = y_of +v_of. sen θ_ik.t -½g.t^twee

Vergelijking van het parabolische pad

De expliciete vergelijking van het pad wordt gevonden door t op te lossen uit de vergelijking voor x (t) en in de vergelijking te substitueren voor y (t). Om algebraïsch werk te vergemakkelijken, kan worden aangenomen dat de oorsprong (0,0) zich op het startpunt bevindt en dus x_of = en_of = 0.

Dit is de vergelijking van het pad in expliciete manier.

Rond pad

Een cirkelvormig pad wordt gegeven door:

(x - x_of​^twee + (en en_of​^twee = R^twee

Hier x_of en en_of vertegenwoordigen het middelpunt van de cirkel beschreven door de mobiel en R is de straal. P (x, y) is een punt op het pad. Uit de gearceerde rechthoekige driehoek (figuur 3) is te zien dat:

x = R. cos θ

y = R. sin θ

De parameter is in dit geval de slaghoek θ, de hoekverplaatsing genoemd. In het specifieke geval dat de hoeksnelheid ω (hoek geveegd per tijdseenheid) constant is, kan worden gesteld dat:

θ = θ_of + ωt

Waar θ_of is de aanvankelijke hoekpositie van het deeltje, dat, indien genomen als 0, reduceert tot:

θ = ωt

In dat geval keert de tijd terug naar parametrische vergelijkingen als:

x = R.cos ωt

y = R. sin ωt

De eenheidsvectoren ik Y j zijn erg handig voor het schrijven van de positiefunctie van een object r (t). Ze geven de richtingen op de as aan X en op de as Y respectievelijk. In zijn bewoordingen is de positie van een deeltje dat een uniforme cirkelbeweging beschrijft:

r (t) = R.cos ωt ik + R. sen ωt j

Opgeloste oefeningen

Opgeloste oefening 1

Een kanon kan een kogel afvuren met een snelheid van 200 m / s en een hoek van 40º ten opzichte van de horizontaal. Als de worp zich op een vlakke ondergrond bevindt en de luchtweerstand wordt verwaarloosd, zoek dan:

a) De vergelijking van het pad y (x) ...

b) Parametrische vergelijkingen x (t) Y en (t).

c) Het horizontale bereik en de tijd dat het projectiel in de lucht blijft hangen.

d) De hoogte waarop het projectiel is wanneer x = 12.000 m

Oplossing voor)

a) Om het traject te vinden, worden de waarden gegeven in de vergelijking y (x) van de vorige sectie vervangen:

y (x) = tg 40º. X - 9,8 / (2 '400^twee. cos^twee40e) x^twee ​  y (x) = 0,8391 x - 0,0000522x^twee

Oplossing b)

b) Het startpunt wordt gekozen aan de oorsprong van het coördinatensysteem (0,0):

x (t) = x_of +v_os.t = 400'cos 40º.t = 306,42. t.

y (t) = y_of +v_Hallo.t -½g.t^twee= 400 'sin 40º.t - 0,5 '9.8't^twee= 257,12 t - 4,9.t^twee

Oplossing c)

c) Doe het om de tijd te vinden dat het projectiel in de lucht blijft hangen y (t) = 0, omdat de lancering wordt gemaakt op een vlakke ondergrond:

0 = 257.12.t - 4.9.t^twee

t = 257,12 / 4,9 s = 52,473 s

Het maximale horizontale bereik wordt gevonden door deze waarde in te vullen x (t):

X_{max. hoogte} = 306,42'52 0,47 m = 16077,7 m

Een andere manier om x te vinden_{max. hoogte} direct is door y = 0 te maken in de vergelijking van het pad:

0 = 0,8391 x_{max. hoogte} - 0,0000522 x^twee_{max. hoogte}

x = 0,8391 / 0,0000522 m = 16078,5 m

Er is een klein verschil door het afronden van de decimalen.

Oplossing d)

d) Om de hoogte te vinden wanneer x = 12000 m, wordt deze waarde direct in de vergelijking van het pad vervangen:

en (12000) = 0,8391'12000 - 0,0000522'12000^twee m = 2552,4 m

Oefening opgelost 2

De positiefunctie van een object wordt gegeven door:

r (t) = 3t ik + (4 -5t^twee​ j m

Vind:

a) De vergelijking voor het pad. Welke curve is?

b) De beginpositie en de positie wanneer t = 2 s.

c) De verplaatsing gemaakt na t = 2 s.

Oplossing

a) De positiefunctie is gegeven in termen van de eenheidsvectoren ik Y j, die respectievelijk de richting op de assen bepalen X Y Y, Dus:

x (t) = 3t

en (t) ​ 4 -5t^twee

De vergelijking van het pad y (x) is aan het opruimen t van x (t) en invallen in y (t):

t = x / 3

y (x) = 4-5. (x / 3)^twee = 4 - 5x^twee/ 9 (gelijkenis)

b) De startpositie is: r (2) = 4 j m ​de positie in t = 2 s het is r (2) = 6 ik -16 j m

c) Verplaatsing Dr is het aftrekken van de twee positievectoren:

Δr ​ r (twee) - r (2) = 6 ik -16 j​- 4 j = 6 ik - twintig j m

Oefening opgelost 3

De aarde heeft een straal R = 6300 km en het is bekend dat de rotatieperiode van zijn beweging om zijn as één dag is. Vind:

a) De vergelijking van het traject van een punt op het aardoppervlak en zijn positiefunctie.

b) De snelheid en versnelling van dat punt.

Oplossing voor)

a) De positiefunctie voor elk punt in een cirkelvormige baan is:

r (t) = R.cos ωt ik + R.sen ωt j

We hebben de straal van de aarde R, maar niet de hoeksnelheid ω, maar het kan worden berekend uit de periode, wetende dat het voor cirkelvormige bewegingen geldig is om te zeggen dat:

ω = 2π ​ frequentie = 2π / periode

De periode van het uurwerk is: 1 dag = 24 uur = 1440 minuten = 86400 seconden, dus:

ω =  2π / 86400 s = 0,000023148 ​​s^-1

Vervanging in de positiefunctie:

r (t) = R.cos ωt ik + R. sen ωt j = 6300 (cos 0,000023148t ik + sen 0.000023148t j) Km

Het pad in parametrische vorm is:

x (t) = 6300. cos 0.000023148t

y (t) = 6300. zonde 0.000023148t

Oplossing b)

b) Voor cirkelvormige bewegingen, de grootte van de lineaire snelheid v van een punt is gerelateerd aan de hoeksnelheid w door:

v = ωR = 0,000023148 ​​s^-1'6300 km = 0,1458 km / s = 145,8 m / s

Zelfs een beweging zijn met constante snelheid van 145,8 m / s, er is een versnelling die naar het midden van de cirkelbaan wijst, die verantwoordelijk is voor het in rotatie houden van het punt. Het is de middelpuntzoekende versnelling naar_c, gegeven door:

naar_c = v^twee / R = (145,8 m / s)^twee / 6300 × 10³ m = 0,00337 m / s^twee.

Referenties

1. Giancoli, D. Physics. (2006). Principes met toepassingen. 6^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Natuurkunde: een blik op de wereld. 6^ta Verkorte editie. Cengage leren. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fysiek. Deel 1. Derde editie in het Spaans. Mexico. Compañía Redactioneel Continental S.A. de C.V. 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fundamentals of Physics. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitaire fysica met moderne fysica. 14^th. Ed. Deel 1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 1. 7^ma. Editie. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fundamentals of Physics. 9^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Natuurkunde 10. Pearson Education. 133 - 149.