Binominaal distributieconcept, vergelijking, kenmerken, voorbeelden

1277
Sherman Hoover

De binominale distributie is een kansverdeling waarmee de kans op het optreden van gebeurtenissen wordt berekend, op voorwaarde dat ze plaatsvinden onder twee modaliteiten: succes of mislukking.

Deze aanduidingen (succes of mislukking) zijn volkomen willekeurig, aangezien ze niet noodzakelijk goede of slechte dingen betekenen. Tijdens dit artikel zullen we de wiskundige vorm van de binominale verdeling aangeven en vervolgens wordt de betekenis van elke term in detail uitgelegd.

Figuur 1. De rol van een dobbelsteen is een fenomeen dat kan worden gemodelleerd met behulp van de binominale verdeling. Bron: Pixabay.

Artikel index

  • 1 vergelijking
  • 2 Concept
  • 3 kenmerken
    • 3.1 Toepassingsvoorbeeld
  • 4 Opgeloste oefeningen
    • 4.1 Oefening 1
    • 4.2 Voorbeeld 2
    • 4.3 Voorbeeld 3
  • 5 referenties

Vergelijking

 De vergelijking is als volgt:

Met x = 0, 1, 2, 3 ... .n, waarbij:

P (x) is de kans om precies te hebben X successen tussen n pogingen of beproevingen.

X is de variabele die het fenomeen van interesse beschrijft, overeenkomend met het aantal successen.

n het aantal pogingen

p is de kans op succes in 1 poging

wat is dus de faalkans bij 1 poging q = 1 - p

Het uitroepteken "!" wordt gebruikt voor factoriële notatie, dus:

0! = 1

1! = 1

twee! = 2,1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Enzovoorts.

Concept

De binominale verdeling is zeer geschikt om situaties te beschrijven waarin een gebeurtenis zich wel of niet voordoet. Als het zich voordoet, is het een succes en zo niet, dan is het een mislukking. Bovendien moet de kans op succes altijd constant blijven..

Er zijn verschijnselen die aan deze voorwaarden voldoen, bijvoorbeeld het opgooien van een munt. In dit geval kunnen we zeggen dat "succes" een gezicht krijgt. De kans is ½ en verandert niet, ongeacht hoe vaak de munt wordt gegooid..

De worp van een eerlijke dobbelsteen is een ander goed voorbeeld, evenals het categoriseren van een bepaalde productie in goede stukken en defecte stukken en het verkrijgen van een rode in plaats van een zwarte bij het draaien van een roulettewiel..

Kenmerken

We kunnen de kenmerken van de binominale verdeling als volgt samenvatten:

- Elke gebeurtenis of waarneming wordt ontleend aan een oneindige populatie zonder vervanging of uit een eindige populatie met vervanging.

- Er worden slechts twee elkaar uitsluitende opties overwogen: succes of mislukking, zoals aan het begin uitgelegd.

- De kans op succes moet constant zijn bij elke observatie die wordt gedaan.

- Het resultaat van een evenement is onafhankelijk van een ander evenement.

- Het gemiddelde van de binominale verdeling is n.p

- De standaarddeviatie is:

Toepassingsvoorbeeld

Laten we een simpele gebeurtenis nemen, die 2 kop 5 kan krijgen door 3 keer een eerlijke dobbelsteen te gooien. Wat is de kans dat in 3 worpen 2 koppen van 5 worden behaald?

Er zijn verschillende manieren om dit te bereiken, bijvoorbeeld:

- De eerste twee rollen zijn 5 en de laatste niet.

- De eerste en laatste zijn 5, maar niet de middelste.

- De laatste twee worpen zijn 5 en de eerste niet.

Laten we de eerste reeks als voorbeeld nemen en de kans op voorkomen ervan berekenen. De kans om een ​​5 heads te krijgen bij de eerste worp is 1/6, en ook bij de tweede worp, aangezien het onafhankelijke evenementen zijn.

De kans dat je bij de laatste worp nog een andere kop krijgt dan 5, is 1 - 1/6 = 5/6. Daarom is de kans dat deze reeks uitkomt het product van de waarschijnlijkheden:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023

Hoe zit het met de andere twee reeksen? Ze hebben dezelfde kans: 0,023.

En aangezien we in totaal 3 succesvolle reeksen hebben, is de totale kans:

P (2 koppen 5 in 3 worpen) = aantal mogelijke reeksen x kans op een bepaalde reeks = 3 x 0,023 = 0,069.

Laten we nu de binominale proberen, waarin het is gedaan:

x = 2 (2 koppen van 5 krijgen in 3 worpen is succes)

n = 3

p = 1/6

q = 5/6

Opgeloste oefeningen

Er zijn verschillende manieren om de binominale distributieoefeningen op te lossen. Zoals we hebben gezien, kan de eenvoudigste worden opgelost door te tellen hoeveel succesvolle reeksen er zijn en deze vervolgens te vermenigvuldigen met de respectievelijke kansen.

Als er echter veel opties zijn, worden de getallen groter en verdient het de voorkeur om de formule te gebruiken.

En als de cijfers nog hoger zijn, zijn er tabellen met de binominale verdeling. Ze zijn nu echter achterhaald ten gunste van de vele soorten rekenmachines die de berekening vergemakkelijken..

Oefening 1

Een echtpaar heeft kinderen met een kans van 0,25 op bloedgroep O. Het echtpaar heeft in totaal 5 kinderen. Antwoord: a) Past deze situatie in een binominale verdeling? B) Wat is de kans dat er precies 2 van het type O zijn?

Oplossing

a) De binominale verdeling is aangepast, aangezien deze voldoet aan de voorwaarden die in voorgaande paragrafen zijn vastgesteld. Er zijn twee opties: het hebben van bloed van het type O is "succes", terwijl het niet hebben is "mislukking", en alle waarnemingen zijn onafhankelijk..

b) We hebben de binominale verdeling:

x = 2 (verkrijg 2 kinderen met type O bloed)

n = 5

p = 0,25

q = 0,75

Voorbeeld 2

Een universiteit beweert dat 80% van de studenten van het basketbalteam van de universiteit afstudeert. Een onderzoek onderzoekt het academische record van 20 studenten van het basketbalteam die zich enige tijd geleden aan de universiteit hebben ingeschreven.

Van deze 20 studenten zijn er 11 afgestudeerd en 9 zijn afgevallen.

Figuur 2. Bijna alle studenten die voor het college-team spelen, studeren af. Bron: Pixabay.

Als de bewering van de universiteit waar is, zou het aantal studenten dat basketbal speelt en afstudeert, van de 20, een binominale verdeling moeten hebben met n = 20 Y p = 0,8. Hoe groot is de kans dat precies 11 van de 20 spelers afstuderen??

Oplossing

In de binominale distributie:

x = 11

n = 20

p = 0,8

q = 0,2

Voorbeeld 3

Onderzoekers voerden een onderzoek uit om te bepalen of er significante verschillen waren in slagingspercentages tussen medische studenten die werden toegelaten via speciale programma's en medische studenten die werden toegelaten via reguliere toelatingscriteria..

Het slagingspercentage bleek 94% te zijn voor medische studenten die werden toegelaten via speciale programma's (op basis van gegevens van de Tijdschrift van de American Medical Association​.

Als 10 van de speciale programma-studenten willekeurig worden geselecteerd, bepaal dan de kans dat er minimaal 9 zijn afgestudeerd.

b) Zou het ongebruikelijk zijn om willekeurig 10 studenten uit speciale programma's te selecteren en te ontdekken dat slechts 7 van hen zijn afgestudeerd??

Oplossing

De kans dat een student die is toegelaten via een bijzondere opleiding afstudeert, is 94/100 = 0,94. Zijn gekozen n = 10 studenten van speciale opleidingen en je wilt weten hoe groot de kans is dat er minimaal 9 afstuderen.

De volgende waarden worden dan vervangen in de binominale verdeling:

x = 9

n = 10

p = 0,94

b)

Referenties

  1. Berenson, M. 1985. Statistieken voor management en economie. Interamericana S.A.
  2. MathWorks. Binominale distributie. Hersteld van: es.mathworks.com
  3. Mendenhall, W. 1981. Statistieken voor management en economie. 3e. editie. Grupo Hoofdartikel Iberoamérica.
  4. Moore, D. 2005. Toegepaste basisstatistieken. 2e. Editie.
  5. Triola, M. 2012. Elementaire statistieken. 11e. Ed. Pearson Education.
  6. Wikipedia. Binominale distributie. Hersteld van: es.wikipedia.org

Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.