Synthetische deelmethode en opgeloste oefeningen

De synthetische divisie is een eenvoudige manier om een ​​polynoom P (x) te delen door een van de vormen d (x) = x - c. Het polynoom P (x) = (x⁵+3x⁴-7x³+2x^twee-8x + 1) kan worden weergegeven als de vermenigvuldiging van de twee eenvoudigste polynomen (x + 1) en (x⁴ + 2x³​.

Het is een erg handig hulpmiddel omdat het ons niet alleen in staat stelt om veeltermen te delen, het ons ook in staat stelt om een ​​polynoom P (x) te evalueren op elk getal c, wat ons op zijn beurt precies vertelt of dat getal een nul is of niet van de polynoom.

Dankzij het deelalgoritme weten we dat als we twee polynomen hebben P (x) Y d (x) niet-constanten, er zijn veeltermen q (x) Y r (x) unieke zodat geldt dat P (x) = q (x) d (x) + r (x), waarbij r (x) nul of kleiner is dan q (x). Deze polynomen staan ​​bekend als respectievelijk quotiënt en rest of rest.

In de gevallen dat het polynoom d (x) de vorm x- c heeft, geeft de synthetische deling ons een korte manier om te achterhalen wie q (x) en r (x) zijn.

Artikel index

• 1 Synthetische verdelingsmethode
• 2 Opgeloste oefeningen
  • 2.1 - Voorbeeld 1
  • 2.2 - Voorbeeld 2
  • 2.3 - Voorbeeld 3
  • 2.4 - Voorbeeld 4
• 3 referenties

Synthetische verdelingsmethode

Laat P (x) = a_nXⁿ+naar_n-1X^n-1+… + A₁x + een₀ het polynoom dat we willen delen en d (x) = x-c de deler. Om te delen door de methode van synthetische delen, gaan we als volgt te werk:

1- We schrijven de coëfficiënten van P (x) in de eerste rij. Als een bepaalde macht van X niet verschijnt, plaatsen we nul als coëfficiënt.

2- In de tweede rij, links van een_n we plaatsen c, en we tekenen scheidingslijnen zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

3- We verlagen de leidende coëfficiënt naar de derde rij.

In deze uitdrukking b_n-1= een_n

4- We vermenigvuldigen c met de leidende coëfficiënt b_n-1 en we schrijven het resultaat in de tweede rij, maar één kolom naar rechts.

5- We voegen de kolom toe waar we het vorige resultaat schrijven en we plaatsen het resultaat onder die som; dat wil zeggen, in dezelfde kolom, derde rij.

Bij het toevoegen hebben we als resultaat_n-1+c * b_n-1, die we gemakshalve zullen noemen b_n-2

6- We vermenigvuldigen c met het vorige resultaat en schrijven het resultaat rechts daarvan in de tweede rij.

7- We herhalen stap 5 en 6 totdat we de coëfficiënt a bereiken₀.

8- We schrijven het antwoord; dat wil zeggen het quotiënt en de rest. Omdat we een polynoom van graad n delen door een polynoom van graad 1, is het quotiënt van graad n-1.

De coëfficiënten van het quotiëntpolynoom zijn de getallen in de derde rij behalve de laatste, die de rest of de rest van de deling zijn.

Opgeloste oefeningen

- voorbeeld 1

Voer de volgende deling uit volgens de synthetische delingsmethode:

(X⁵+3x⁴-7x³+2x^twee-8x + 1): (x + 1).

Oplossing

We schrijven de dividendcoëfficiënten eerst als volgt:

Vervolgens schrijven we c aan de linkerkant, in de tweede rij, samen met de scheidslijnen. In dit voorbeeld c = -1.

We verlagen de leidende coëfficiënt (in dit geval b_n-1 = 1) en we vermenigvuldigen het met -1:

We schrijven het resultaat naar rechts in de tweede rij, zoals hieronder weergegeven:

We voegen de cijfers toe in de tweede kolom:

We vermenigvuldigen 2 met -1 en schrijven het resultaat in de derde kolom, tweede rij:

We voegen in de derde kolom toe:

We gaan op dezelfde manier verder totdat we de laatste kolom bereiken:

We hebben dus dat het laatst verkregen getal de rest van de deling is, en de resterende getallen zijn de coëfficiënten van het quotiëntpolynoom. Dit is als volgt geschreven:

Als we willen controleren of het resultaat correct is, volstaat het om te controleren of de volgende vergelijking waar is:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

We kunnen dus controleren of het verkregen resultaat correct is.

- Voorbeeld 2

Voer de volgende verdeling van polynomen uit door de methode van synthetische delen

(7x³-x + 2): (x + 2)

Oplossing

In dit geval hebben we de term x^twee het verschijnt niet, dus we schrijven 0 als de coëfficiënt. Het polynoom zou dus 7x zijn³+0x^twee-x + 2.

We schrijven hun coëfficiënten op een rij, dit is:

We schrijven de waarde van C = -2 aan de linkerkant in de tweede rij en tekenen de scheidingslijnen.

We verlagen de leidende coëfficiënt b_n-1 = 7 en vermenigvuldig het met -2, waarbij je je resultaat op de tweede rij naar rechts schrijft.

We voegen toe en gaan verder zoals eerder uitgelegd, totdat we de laatste term bereiken:

In dit geval is de rest r (x) = - 52 en het verkregen quotiënt is q (x) = 7x^twee-14x + 27.

- Voorbeeld 3

Een andere manier om synthetische deling te gebruiken is als volgt: stel dat we een polynoom P (x) van graad n hebben en we willen weten wat de waarde is door deze te evalueren op x = c.

Door het delingsalgoritme hebben we dat we de polynoom P (x) als volgt kunnen schrijven:

In deze uitdrukking zijn q (x) en r (x) respectievelijk het quotiënt en de rest. Als d (x) = x- c, krijgen we bij het evalueren van c in het polynoom het volgende:

Om deze reden blijft het alleen om r (x) te vinden, en we kunnen dit doen dankzij de synthetische deling.

We hebben bijvoorbeeld de polynoom P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x^twee-37x-37 en we willen weten wat de waarde is door het te evalueren op x = 5. Om dit te doen delen we tussen P (x) en d (x) = x -5 door de synthetische deelmethode:

Zodra de bewerkingen zijn voltooid, weten we dat we P (x) op de volgende manier kunnen schrijven:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -X⁴+ 7x³ +32x^twee +179x + 858) * (x-5) + 4253

Daarom moeten we bij het evalueren ervan:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Zoals we kunnen zien, is het mogelijk om synthetische deling te gebruiken om de waarde van een polynoom te vinden door deze te evalueren op c in plaats van simpelweg c te vervangen door x. 

Als we P (5) op de traditionele manier zouden proberen te evalueren, zouden we genoodzaakt zijn om een ​​aantal berekeningen uit te voeren die de neiging hebben om vervelend te worden.

- Voorbeeld 4

Het deelalgoritme voor veeltermen geldt ook voor veeltermen met complexe coëfficiënten en als gevolg daarvan hebben we dat de synthetische deelmethode ook werkt voor dergelijke veeltermen. Vervolgens zullen we een voorbeeld zien.

We zullen de synthetische delingsmethode gebruiken om aan te tonen dat z = 1+ 2i een nul is van de polynoom P (x) = x³+ (1 + ik) x^twee -(1 + 2i) x + (15 + 5i); dat wil zeggen, de rest van de deling P (x) door d (x) = x - z is gelijk aan nul.

We gaan verder zoals eerder: in de eerste rij schrijven we de coëfficiënten van P (x), in de tweede schrijven we z en tekenen we de scheidingslijnen.

We voeren de divisie uit zoals voorheen; dit is:

We kunnen zien dat de rest nul is; daarom concluderen we dat z = 1+ 2i een nul is van P (x).

Referenties

1. Baldor aurelio. Algebra. Grupo Redactie Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: grafisch, numeriek, algebraïsch 7e Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Prentice hal
4. Michael Sullivan. Voorberekening 4e Ed. Pearson Education.
5. Rood. Armando O. Algebra 1 6e Ed. Het Atheneum.