De euclidische meetkunde komt overeen met de studie van de eigenschappen van geometrische ruimtes waar aan de axioma's van Euclides wordt voldaan. Hoewel deze term soms wordt gebruikt om geometrieën te dekken die hogere afmetingen hebben met vergelijkbare eigenschappen, is het over het algemeen synoniem met klassieke geometrie of vlakke geometrie..
In de IIIe eeuw a. C. Euclid en zijn discipelen schreven de Elementen, een werk dat de wiskundige kennis van de tijd omvatte, begiftigd met een logisch-deductieve structuur. Sindsdien is geometrie een wetenschap geworden, aanvankelijk om klassieke problemen op te lossen, en is geëvolueerd tot een vormende wetenschap die helpt te redeneren..
Artikel index
Om over de geschiedenis van de Euclidische meetkunde te praten, is het essentieel om te beginnen met Euclides van Alexandrië en de Elementen.
Toen Egypte na de dood van Alexander de Grote in de handen van Ptolemaeus I werd achtergelaten, begon hij zijn project op een school in Alexandrië.
Een van de wijzen die op de school lesgaven, was Euclides. Er wordt gespeculeerd dat zijn geboorte dateert uit ongeveer 325 voor Christus. C. en zijn dood van 265 a. C. We kunnen met zekerheid weten dat hij naar Plato's school ging.
Euclides gaf meer dan dertig jaar les in Alexandrië en bouwde zijn beroemde elementen op: hij begon een uitputtende beschrijving te schrijven van de wiskunde van zijn tijd. Euclides 'leringen brachten uitstekende discipelen voort, zoals Archimedes en Apollonius van Perga.
Euclides werd belast met het structureren van de ongelijksoortige ontdekkingen van de oude Grieken in de Elementen, maar in tegenstelling tot zijn voorgangers beperkt het zich niet tot de bevestiging dat een stelling waar is; Euclid biedt een demonstratie aan.
De Elementen ze zijn een compendium van dertien boeken. Na de Bijbel is het het meest gepubliceerde boek, met meer dan duizend edities.
De Elementen is Euclides meesterwerk op het gebied van geometrie, en biedt een definitieve behandeling van de geometrie van twee dimensies (het vlak) en drie dimensies (ruimte), dit is de oorsprong van wat we nu kennen als Euclidische meetkunde.
De elementen zijn opgebouwd uit definities, gangbare begrippen en postulaten (of axioma's) gevolgd door stellingen, constructies en bewijzen..
- Een punt is datgene dat geen onderdelen heeft.
- Een lijn is een lengte die geen breedte heeft.
- Een rechte lijn is er een die in gelijke mate ligt in verhouding tot de punten die hierin staan.
- Als twee lijnen worden gesneden zodat de aangrenzende hoeken gelijk zijn, worden de hoeken rechte hoeken genoemd en worden de lijnen loodrecht genoemd.
- Parallelle lijnen zijn lijnen die zich in hetzelfde vlak bevinden en elkaar nooit kruisen.
Na deze en andere definities presenteert Euclides ons een lijst van vijf postulaten en vijf begrippen..
- Twee dingen die gelijk zijn aan een derde zijn gelijk aan elkaar.
- Als dezelfde dingen aan dezelfde dingen worden toegevoegd, zijn de resultaten hetzelfde.
- Als gelijke dingen worden afgetrokken van gelijke dingen, zijn de resultaten gelijk.
- Dingen die bij elkaar passen, zijn gelijk aan elkaar.
- Het totaal is meer dan een deel.
- Er loopt slechts één lijn door twee verschillende punten.
- Rechte lijnen kunnen oneindig worden verlengd.
- Een cirkel kan met elk middelpunt en elke straal worden getekend.
- Alle rechte hoeken zijn gelijk.
- Als een rechte lijn twee rechte lijnen kruist zodat de binnenhoeken van dezelfde zijde samen minder dan twee rechte hoeken vormen, zullen de twee lijnen elkaar aan die zijde kruisen..
Dit laatste postulaat staat bekend als het parallelle postulaat en werd als volgt geherformuleerd: "Voor een punt buiten een lijn kan een enkele parallel aan de gegeven lijn worden getrokken".
Hier zijn enkele stellingen van de Elementen ze zullen dienen om eigenschappen van geometrische ruimtes te tonen waar de vijf postulaten van Euclides vervuld zijn; Bovendien illustreren ze de logisch-deductieve redenering die deze wiskundige gebruikte.
Als twee driehoeken twee zijden hebben en de hoek ertussen is gelijk, dan zijn de andere zijden en de andere hoeken gelijk..
Laat ABC en A'B'C 'twee driehoeken zijn met AB = A'B', AC = A'C 'en de hoeken BAC en B'A'C' gelijk. Laten we driehoek A'B'C 'verplaatsen zodat A'B' samenvalt met AB en dat hoek B'A'C 'samenvalt met hoek BAC.
Dus lijn A'C 'valt samen met lijn AC, zodat C' samenvalt met C. Dan, door postulaat 1, moet lijn BC samenvallen met lijn B'C '. Daarom vallen de twee driehoeken samen en bijgevolg zijn hun hoeken en zijden gelijk.
Als een driehoek twee gelijke zijden heeft, zijn de tegenovergestelde hoeken aan die zijden gelijk..
Stel dat driehoek ABC gelijke zijden AB en AC heeft.
Dus de driehoeken ABD en ACD hebben twee gelijke zijden en de hoeken ertussen zijn gelijk. Dus volgens Proposition 1.4 zijn de hoeken ABD en ACD gelijk.
U kunt een lijn construeren die parallel loopt aan een lijn die wordt gegeven door een bepaald punt.
Gegeven een lijn L en een punt P, wordt een lijn M door P getrokken die L snijdt. Dan wordt een lijn N getrokken door P die L snijdt. Nu wordt een lijn N door P getrokken die M snijdt en een hoek vormt die gelijk is aan degene die L vormt met M.
N is parallel aan L.
Stel dat L en N niet evenwijdig zijn en elkaar snijden in een punt A. Laat B een punt zijn in L voorbij A. Beschouw de lijn O die door B en P loopt. Dan snijdt O M onder hoeken die samen minder dan twee zijn. Rechtdoor.
Dan moet met 1,5 de lijn O de lijn L aan de andere kant van M snijden, dus L en O snijden elkaar op twee punten, wat in tegenspraak is met Postulaat 1. Daarom moeten L en N parallel zijn.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.