Wetten van exponenten (met voorbeelden en opgeloste oefeningen)

De wetten van exponenten zijn degene die van toepassing zijn op dat getal die aangeven hoe vaak een basisgetal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd. De exponenten worden ook wel machten genoemd. Empowerment is een wiskundige bewerking die wordt gevormd door een grondslag (a), de exponent (m) en de macht (b), die het resultaat is van de bewerking.

Exponenten worden over het algemeen gebruikt als er zeer grote hoeveelheden worden gebruikt, omdat dit niets meer zijn dan afkortingen die de vermenigvuldiging van hetzelfde getal een bepaald aantal keren vertegenwoordigen. Machten kunnen zowel positief als negatief zijn.

Artikel index

• 1 Verklaring van de wetten van exponenten
  • 1.1 Eerste wet: macht van exponent gelijk aan 1
  • 1.2 Tweede wet: macht van exponent gelijk aan 0
  • 1.3 Derde wet: negatieve exponent
  • 1.4 Vierde wet: vermenigvuldiging van machten met gelijke basis
  • 1.5 Vijfde wet: verdeling van bevoegdheden met gelijke grondslag
  • 1.6 Zesde wet: vermenigvuldiging van bevoegdheden met verschillende basis
  • 1.7 Zevende wet: verdeling van bevoegdheden met verschillende basis
  • 1.8 Achtste wet: macht van een macht
  • 1.9 Negende wet: fractionele exponent
• 2 Opgeloste oefeningen
  • 2.1 Oefening 1
  • 2.2 Oefening 2
• 3 referenties

Verklaring van de wetten van exponenten

Zoals hierboven vermeld, zijn exponenten een steno-vorm die meerdere keren met zichzelf vermenigvuldigt, waarbij de exponent alleen betrekking heeft op het getal aan de linkerkant. Bijvoorbeeld:

twee³ = 2 * 2 * 2 = 8

In dat geval is het getal 2 de basis van de macht, die 3 keer wordt vermenigvuldigd zoals aangegeven door de exponent, gelegen in de rechterbovenhoek van de basis. Er zijn verschillende manieren om de uitdrukking te lezen: 2 verheven tot 3 of ook 2 verheven tot de kubus.

De exponenten geven ook het aantal keren aan dat ze kunnen worden gedeeld, en om deze bewerking te onderscheiden van vermenigvuldiging, heeft de exponent het minteken (-) ervoor (het is negatief), wat betekent dat de exponent in de noemer van een staat. fractie. Bijvoorbeeld:

twee^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Dit moet niet worden verward met het geval waarin de basis negatief is, omdat het afhangt van het feit of de exponent oneven of even is om te bepalen of de macht positief of negatief zal zijn. Dus je moet:

- Als de exponent even is, is de kracht positief. Bijvoorbeeld:

(-7)^twee = -7 _​ -7 = 49.

- Als de exponent oneven is, is de macht negatief. Bijvoorbeeld:

​-twee)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Er is een speciaal geval waarin als de exponent gelijk is aan 0, de macht gelijk is aan 1. Er is ook de mogelijkheid dat de basis 0 is; in dat geval zal, afhankelijk van de exponent, de macht onbepaald zijn of niet.

Om wiskundige bewerkingen met exponenten uit te voeren, is het noodzakelijk om verschillende regels of normen te volgen die het gemakkelijker maken om de oplossing van deze bewerkingen te vinden.

Eerste wet: macht van exponent gelijk aan 1

Als de exponent 1 is, is het resultaat dezelfde waarde van het grondtal: a¹ = een.

Voorbeelden

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Tweede wet: macht exponent gelijk aan 0

Als de exponent 0 is en het grondtal niet nul is, is het resultaat: a⁰ = 1.

Voorbeelden

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Derde wet: negatieve exponent

Omdat de exponte negatief is, is het resultaat een breuk, waarbij de macht de noemer is. Als m bijvoorbeeld positief is, dan is a^-m = 1 / a^m.

Voorbeelden

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-twee = 1/6^twee = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Vierde wet: vermenigvuldiging van machten met gelijke basis

Om machten te vermenigvuldigen waarbij de basen gelijk zijn aan en verschillen van 0, blijft de basis over en worden de exponenten toegevoegd: a^m _​ naarⁿ = een^{m + n}.    

Voorbeelden

- 4⁴ _​ 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _​ 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- twee^twee _​ twee⁹ = 2^{2 + 9} = 2^elf

Vijfde wet: verdeling van bevoegdheden met gelijke grondslag

Om machten te delen waarin de basen gelijk zijn aan en verschillen van 0, wordt de basis behouden en worden de exponenten als volgt afgetrokken: a^m / naarⁿ = een^m-n.    

Voorbeelden

- 9^twee / 9¹ = 9 ^{(eenentwintig)} = 9¹.

- 6^vijftien / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Zesde wet: vermenigvuldiging van bevoegdheden met verschillende basis

In deze wet is er het tegenovergestelde van wat in de vierde wordt uitgedrukt; dat wil zeggen, als je verschillende basen hebt maar met dezelfde exponenten, worden de basen vermenigvuldigd en blijft de exponent behouden: a^m _​ b^m = (een_​b) ^m.

Voorbeelden

- 10^twee _​ twintig^twee = (10 _​ twintig)^twee = 200^twee.

- Vier vijf^elf _​ 9^elf = (45 * 9)^{11 =} 405^elf.

Een andere manier om deze wet weer te geven, is wanneer een vermenigvuldiging tot een macht wordt verheven. De exponent behoort dus tot elk van de termen: (a_​b)^m= een^m_​ b^m.

Voorbeelden

- (5_​8)⁴ = 5⁴ _​ 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _​ 7⁶ = 161⁶.

Zevende wet: verdeling van bevoegdheden met verschillende basis

Als je verschillende bases hebt maar met dezelfde exponenten, deel de bases dan en behoud de exponent: a^m / b^m = (a / b)^m.

Voorbeelden

- 30³ / twee³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Evenzo, wanneer een deling tot een macht wordt verheven, zal de exponent in elk van de termen thuishoren: (a / b) ^m = een^m / b^m.

Voorbeelden

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)^twee = 25^twee / 5^twee = 5^twee.

Er is het geval waarin de exponent negatief is. Om positief te zijn, wordt de waarde van de teller als volgt omgekeerd met die van de noemer:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / naarⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Achtste wet: macht van een macht

Als je een macht hebt die naar een andere macht wordt verhoogd - dat wil zeggen, twee exponenten tegelijk -, wordt de basis gehandhaafd en worden de exponenten vermenigvuldigd: (a^m​ⁿ= een^{m *n}.

Voorbeelden

- (8³​^twee = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹​³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238¹⁰​¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Negende wet: fractionele exponent

Als de macht een breuk als exponent heeft, wordt dit opgelost door deze om te zetten in een n-de wortel, waarbij de teller als exponent blijft en de noemer de index van de wortel vertegenwoordigt:

Voorbeeld

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bereken de bewerkingen tussen de machten met verschillende bases:

twee⁴ _​ 4⁴ / 8^twee.

Oplossing

Door de regels van exponenten toe te passen, worden de basen vermenigvuldigd met de teller en wordt de exponent behouden, als volgt:

twee⁴ _​ 4⁴ / 8^twee= (2_​4)⁴ / 8^twee  = 8⁴ / 8^twee

Nu we dezelfde basissen hebben maar met verschillende exponenten, blijft de basis behouden en worden de exponenten afgetrokken:

 8⁴ / 8^twee = 8^{(4 - 2)} = 8^twee

Oefening 2

Bereken de bewerkingen tussen de machten die tot een andere macht zijn verheven:

(3^twee​³ _​ (twee _​ 6⁵​^-twee _​ (twee^twee​³

Oplossing

Als u de wetten toepast, moet u:

(3^twee​³ _​ (twee _​ 6⁵​^-twee _​ (twee^twee​³

= 3⁶ _​ twee^-twee _​ twee^-10 _​ twee⁶

= 3⁶ _​ twee^{(-2) + (- 10)} _​ twee⁶

= 3⁶ _​  twee^-12 _​ twee⁶

= 3⁶ _​ twee^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _​ twee⁶

= (3_​twee)⁶

= 6⁶

= 46.656

Referenties

1. Aponte, G. (1998). Basisbeginselen van wiskunde. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Wiskunde toegepast op het dagelijks leven.
3. Jiménez, J. R. (2009). Wiskunde 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra en trigonometrie.
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.