Vectorkenmerken en eigenschappen, elementen, typen, voorbeelden

De vector Het zijn wiskundige entiteiten met een -positieve- grootte, meestal vergezeld van een meeteenheid, evenals richting en gevoel. Dergelijke kenmerken zijn zeer geschikt om fysieke grootheden zoals snelheid, kracht, versnelling en nog veel meer te beschrijven..

Met vectoren is het mogelijk om bewerkingen uit te voeren zoals optellen, aftrekken en producten. Divisie is niet gedefinieerd voor vectoren en wat het product betreft, zijn er drie klassen die we later zullen beschrijven: puntproduct of punt, vectorproduct of kruis en product van een scalair door een vector.

Om een ​​vector volledig te beschrijven, is het nodig om al zijn kenmerken aan te geven. De grootte of module is een numerieke waarde vergezeld van een eenheid, terwijl de richting en richting worden vastgesteld met behulp van een coördinatensysteem.

Laten we naar een voorbeeld kijken: stel dat een vliegtuig van de ene stad naar de andere vliegt met een snelheid van 850 km / u in NO-richting. Hier hebben we een volledig gespecificeerde vector, aangezien de magnitude beschikbaar is: 850 km / u, terwijl de richting en het gevoel NE zijn.

Vectoren worden meestal grafisch weergegeven door georiënteerde lijnsegmenten, waarvan de lengte evenredig is met de grootte.

Om de richting en de richting te specificeren, is een referentielijn vereist, meestal de horizontale as, hoewel het noorden ook als referentie kan worden genomen, zoals het geval is bij de snelheid van het vlak:

De figuur toont de snelheidsvector van het vlak, die wordt aangeduid als v Aan stoutmoedig, om het te onderscheiden van een scalaire grootheid, waarvoor alleen een numerieke waarde en een eenheid moet worden opgegeven.

Artikel index

• 1 Elementen van een vector
  • 1.1 Rechthoekige componenten van een vector
• 2 soorten
  • 2.1 Orthogonale eenheidsvectoren
• 3 Som van vectoren
  • 3.1 Eigenschappen van vectoroptelling
• 4 vectorvoorbeelden
• 5 Andere bewerkingen tussen vectoren
  • 5.1 Product van een scalair en een vector
  • 5.2 Scalair product of puntproduct tussen vectoren
  • 5.3 Kruisproduct of kruisproduct tussen vectoren
• 6 Opgeloste oefeningen
  • 6.1 - Oefening 1
  • 6.2 - Oefening 2
• 7 referenties

Elementen van een vector

Zoals we al zeiden, zijn de elementen van de vector:

-Magnitude of modulus, ook wel absolute waarde of norm van de vector genoemd.

-Richting

-Zin

In het voorbeeld in figuur 2 is de module v Het is 850 km / u. De modulus wordt aangegeven als v zonder vet, of als |v|, waar de balken de absolute waarde vertegenwoordigen.

Het adres van v wordt gespecificeerd met betrekking tot het noorden. In dit geval is het 45º Noordelijk van Oost (45º NO). Ten slotte geeft de punt van de pijl de richting van v.

In dit voorbeeld is de oorsprong van de vector getekend die samenvalt met de oorsprong O van het coördinatensysteem, dit staat bekend als gebonden vector. Aan de andere kant, als de oorsprong van de vector niet samenvalt met die van het referentiesysteem, wordt gezegd dat het een gratis vector.

Opgemerkt moet worden dat om de vector volledig te specificeren, deze drie elementen moeten worden genoteerd, anders zou de beschrijving van de vector onvolledig zijn.

Rechthoekige componenten van een vector

In de afbeelding hebben we onze voorbeeldvector terug v, dat is in het vliegtuig xy.

Het is gemakkelijk in te zien dat de projecties van v op de x- en y-coördinaatassen een rechthoekige driehoek bepalen. Deze projecties zijn v_Y Y v_X en heten rechthoekige componenten van v.

Een manier om aan te duiden v door zijn rechthoekige componenten is als volgt: v ​ X, v_Y​. Deze haakjes worden gebruikt in plaats van haakjes om te benadrukken dat het een vector is en geen punt, aangezien in dit geval haakjes zouden worden gebruikt.

Als de vector zich in een driedimensionale ruimte bevindt, is er nog een component nodig, zodat:

v ​ X, v_Y, v_z​

Als we de rechthoekige componenten kennen, wordt de grootte van de vector berekend, wat overeenkomt met het vinden van de hypotenusa van de rechthoekige driehoek waarvan de benen zijn v_X Y v_Y,. Door middel van de stelling van Pythagoras volgt het volgende:

​v​^twee = (v_X​^twee +  (v_Y​^twee

Polaire vorm van een vector

Wanneer de grootte van de vector bekend is ​v​ en de hoek θ die deze vormt met de referentieas, doorgaans de horizontale as, de vector wordt ook gespecificeerd. De vector wordt dan uitgedrukt in polaire vorm.

De rechthoekige componenten zijn in dit geval eenvoudig te berekenen:

v_X ​v| .cos θ

v_Y ​v| .sen θ

Volgens het bovenstaande de rechthoekige componenten van de snelheidsvector v van het vliegtuig zou zijn:

v_X = 850. cos 45º km / u = 601,04 km / u

v_Y = 850. sin 45º km / u = 601,04 km / u

Types

Er zijn verschillende soorten vectoren. Er zijn vectoren van snelheid, positie, verplaatsing, kracht, elektrisch veld, momentum en nog veel meer. Zoals we al zeiden, zijn er in de natuurkunde een groot aantal vectorgrootheden.

Wat betreft vectoren die bepaalde kenmerken hebben, kunnen we de volgende soorten vectoren noemen:

-Nul: dit zijn vectoren met een grootte van 0 en die worden aangeduid als 0. Onthoud dat de vetgedrukte letter de drie fundamentele kenmerken van een vector symboliseert, terwijl de normale letter alleen de module vertegenwoordigt.

Op een lichaam in statisch evenwicht moet de som van de krachten bijvoorbeeld een nulvector zijn.

-Vrij en gebonden: vrije vectoren zijn vectoren waarvan de oorsprong en aankomstpunten een paar punten in het vlak of in de ruimte zijn, in tegenstelling tot gekoppelde vectoren, waarvan de oorsprong samenvalt met die van het referentiesysteem dat wordt gebruikt om ze te beschrijven.

Het paar of moment geproduceerd door een paar krachten is een goed voorbeeld van een vrije vector, aangezien het paar niet van toepassing is op een bepaald punt.

-Teamlenzen: het zijn twee gratis vectoren met identieke kenmerken. Daarom hebben ze gelijke grootte, richting en gevoel.

-Coplanair of coplanair: vectoren die tot hetzelfde vlak behoren.

-Tegenstellingen: vectoren met gelijke grootte en richting, maar tegengestelde richtingen. De vector tegenover een vector v is de vector -v en de som van beide is de nulvector: v + ​-v​ 0.

-Gelijktijdig: vectoren waarvan de actielijnen allemaal door hetzelfde punt gaan.

-Schuifregelaars: zijn die vectoren waarvan het toepassingspunt langs een bepaalde lijn kan schuiven.

-Collineair: vectoren die zich op dezelfde lijn bevinden.

-Unitair: die vectoren waarvan de modulus 1 is.

Orthogonale eenheidsvectoren

Er is een zeer nuttig type vector in de natuurkunde dat een orthogonale eenheidsvector wordt genoemd. De orthogonale eenheidsvector heeft een module gelijk aan 1 en de eenheden kunnen bijvoorbeeld snelheid, positie, kracht of andere zijn.

Er is een reeks speciale vectoren die helpen om andere vectoren gemakkelijk weer te geven en er bewerkingen op uit te voeren: het zijn orthogonale eenheidsvectoren ik, j Y k, unitair en loodrecht op elkaar.

In twee dimensies zijn deze vectoren gericht langs de positieve richting van beide assen X vanaf de as Y. En in drie dimensies wordt een eenheidsvector toegevoegd in de richting van de as z positief. Ze worden als volgt weergegeven:

ik ​ <1, 0,0>

j ​ < 0,1,0>

k ​ <0,0,1>

Een vector kan worden weergegeven door de eenheidsvectoren ik, j Y k als volgt:

v = v_X ik + v_Y j + v_z k

Bijvoorbeeld de snelheidsvector v uit de bovenstaande voorbeelden kan worden geschreven als:

v = 601,04 ik + 601.04 j km / u

De component in k is niet nodig, aangezien deze vector zich in het vlak bevindt.

Vector toevoeging

De som van vectoren komt zeer vaak voor in verschillende situaties, bijvoorbeeld wanneer u de resulterende kracht wilt vinden op een object dat wordt beïnvloed door verschillende krachten. Stel dat we om te beginnen twee vrije vectoren hebben of Y v in het vliegtuig, zoals weergegeven in de volgende afbeelding aan de linkerkant:

Het wordt onmiddellijk voorzichtig naar de vector verplaatst v, zonder zijn omvang, richting of betekenis te wijzigen, zodat zijn oorsprong samenvalt met het einde van of.

De somvector wordt genoemd w en wordt getrokken vanaf u eindigend op v, volgens de juiste figuur. Het is belangrijk op te merken dat de grootte van de vector w is niet noodzakelijk de som van de magnitudes van v Y of.

Als je er goed over nadenkt, is de enige keer dat de grootte van de resulterende vector de som is van de magnitudes van de toevoegingen, wanneer beide toevoegingen in dezelfde richting zijn en dezelfde betekenis hebben..

En wat gebeurt er als de vectoren niet gratis zijn? Het is ook heel gemakkelijk om ze toe te voegen. De manier om dit te doen is het toevoegen van een component aan een component of een analytische methode.

Laten we als voorbeeld de vectoren in de volgende afbeelding bekijken, het eerste is om ze uit te drukken op een van de Cartesiaanse manieren die eerder zijn uitgelegd:

v ​ <5,1>

of ​ <2,3>

Om de component erin te krijgen X van de somvector w, de respectievelijke componenten worden toegevoegd in X van v Y of​ w_X = 5 + 2 = 7. En om te krijgen w_Y een analoge procedure wordt gevolgd: w_Y = 1 + 3. Daarom:

of ​ <7,4>

Eigenschappen van vectortoevoeging

-De som van twee of meer vectoren resulteert in een andere vector.

-Het is commutatief, de volgorde van de toevoegingen verandert de som niet, zodanig dat:

of + v ​ v + of

-Het neutrale element van de som van vectoren is de nulvector: v + 0 ​ v

-Het aftrekken van twee vectoren wordt gedefinieerd als de som van het tegenovergestelde: v - u ​ v + (-of)

Vector voorbeelden

Zoals we al zeiden, zijn er talloze vectorgrootheden in de natuurkunde. Enkele van de bekendste zijn:

-Positie

-Verplaatsing

-Gemiddelde snelheid en momentane snelheid

-Versnelling

-Dwingen

-Hoeveelheid beweging

-Koppel of moment van kracht

-Impuls

-elektrisch veld

-Magnetisch veld

-Magnetisch moment

Aan de andere kant zijn het geen vectoren maar scalairen:

-Weer

-Massa

-Temperatuur

-Volume

-Dichtheid

-Mechanisch werk

-Energie

-Heet

-Kracht

-Spanning

-Elektrische stroom

Andere bewerkingen tussen vectoren

Naast het optellen en aftrekken van vectoren zijn er drie andere zeer belangrijke bewerkingen tussen vectoren, omdat ze aanleiding geven tot nieuwe zeer belangrijke fysieke grootheden:

-Product van een scalair en een vector.

-Het puntproduct of puntproduct tussen vectoren

-En het kruis- of vectorproduct tussen twee vectoren.

Product van een scalair en een vector

Beschouw de tweede wet van Newton, die stelt dat de kracht F. en versnelling naar ze zijn proportioneel. De evenredigheidsconstante is de massa m van het object, daarom:

F. = m.naar

Massa is een scalair; kracht en versnelling zijn vectoren. Omdat de kracht wordt verkregen door de massa te vermenigvuldigen met de versnelling, is deze het resultaat van het product van een scalair en een vector.

Dit type product resulteert altijd in een vector. Hier is nog een voorbeeld: de hoeveelheid beweging. Worden P. de momentum vector, v de snelheidsvector en zoals altijd, m is de massa:

P. = m.v

Puntproduct of puntproduct tussen vectoren

We hebben mechanisch werk op de lijst met grootheden geplaatst die geen vectoren zijn. Werk in de natuurkunde is echter het resultaat van een bewerking tussen vectoren die scalair product, inproduct of puntproduct worden genoemd..

Laat de vectoren zijn v Y of, het puntproduct of scalair daartussen wordt gedefinieerd als:

v​of ​v​​ |of | .cos θ

Waar θ de hoek tussen de twee is. Uit de weergegeven vergelijking volgt onmiddellijk dat het resultaat van het puntproduct een scalair is en ook dat als beide vectoren loodrecht staan, hun scalair product 0 is..

Terug naar mechanisch werk W., dit is het scalaire product tussen de krachtvector F. en de verplaatsingsvector ℓ.

W = F.​ℓ                  

Wanneer vectoren beschikbaar zijn in termen van hun componenten, is het puntproduct ook heel gemakkelijk te berekenen. Ja v ​ X, v_Y, v_z ​ Y of ​ X, of_Y, of_z ​, het puntproduct tussen de twee is:

v​of ​ v_X of_X + v_Y of_Y + v_z of_z

Het puntproduct tussen vectoren is commutatief, daarom:

v​of ​ of​v

Kruis product of vectorproduct tussen vectoren

Ja v en u bent onze twee voorbeeldvectoren, het vectorproduct wordt gedefinieerd als:

v X of ​ w

Hieruit volgt onmiddellijk dat het kruisproduct resulteert in een vector, waarvan de modulus wordt gedefinieerd als:

​v X u | = | v |​| u |. sen θ

Waar θ is de hoek tussen de vectoren.

Het kruisproduct is daarom niet commutatief v X u ≠ u X v. In feite v X u = - (u X v).

Als de twee voorbeeldvectoren worden uitgedrukt in termen van eenheidsvectoren, is de berekening van het vectorproduct eenvoudiger:

v = v_X ik + v_Y j + v_z k

of = u_X ik + of_Y j + of_z k

Kruis producten tussen eenheidsvectoren

Het kruisproduct tussen identieke eenheidsvectoren is nul, aangezien de hoek daartussen 0º is. Maar tussen verschillende eenheidsvectoren is de hoek tussen hen 90º en sin 90º = 1.

Het volgende diagram helpt om deze producten te vinden. In de richting van de pijl heeft het een positieve richting en in de tegenovergestelde richting heeft het een negatieve richting:

ik X j ​ k, j X k ​ ik; k X ik ​ j; j X ik = -k; k X j ​ -ik; ik X k ​ -j

Als we de distributieve eigenschap toepassen, die nog steeds geldig is voor de producten tussen vectoren plus de eigenschappen van eenheidsvectoren, hebben we:

v X of = (v_X ik + v_Y j + v_z k) x (u_X ik + of_Y j + of_z k​  

= (v_Yof_z - v_zof_Y ​ik + (v_zof_X - v_Xof_z ​j + (v_Xof_Y - v_Yof_X ​k

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Gezien de vectoren:

v = -5 ik + 4j + 1 k

of = 2 ik -3 j + 7k

Wat zou de vector moeten zijn w zodat de som v + of + w het blijkt 6 ik +8 j -10k?

Oplossing

-5 ik + 4j + 1 k

twee ik -3 j + 7k

 w_X ik + w_Y j + w_z k  +

--

6ik + 8 j -10 k

Daarom moet worden voldaan aan het volgende:

-5 +2 + w_X = 6 → w_X = 9

4-3 + w_Y = 8 → w_Y = 7

1 + 7 + w_z = -10 → w_z = -18

Het antwoord is: w = 9 ik +7 j - 18k

- Oefening 2

Wat is de hoek tussen de vectoren v Y of uit oefening 1?

Oplossing

We zullen het puntproduct gebruiken. Uit de definitie hebben we:

cos θ = v​of ​v​​ |of​

v​of= -10-12 + 7 = -15

​v| = √ (-5)^twee +4^twee +1^twee= √42 = 6,48

​of| = √2^twee +(-3)^twee +7^twee= √62 = 7,87

Deze waarden vervangen:

cos θ = -15 / 6,48 x 7,87 = -0,2941 → θ = 107,1 º

Referenties

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Natuurkunde: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. Ed. Deel 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Deel 1. 7e. Ed. Cengage Learning.